一、均匀设计的提出
9 D6 r& l% d* c1 B) s. V
实际中的试验设计要求:
7 `% E2 r% I$ s1) 在一个生产过程中，有关的因素通常是很多的；
# l6 K5 T7 R# Y$ ~9 S2) 在一项试验中，如何从众多的有关因子挑选出试验方案中的因素；
; @: @1 b( s' |6 E7 e& F$ O
3) 试验的范围应当尽可能大一点；
) i% i% v2 b6 t8 l4) 若试验范围允许大一些，则每一因素的水平个数最好适当多一些。
2 X3 r3 `* I1 x5 p, Z' `3 Y
每一种试验设计方法都有其局限性，正交试验也不例外。它只宜用于水平数不多的试验中，若在一项试验中有S个因素，每个因素有q个水平，用正交设计安排试验，即使是部分实施，最少也要q2个试验，当q较大时，q2将更大，使实验工作者望而生畏。
+ N' k6 I' Z6 G! T; ]- @. k怎样减少试验的次数呢？ 让我们从正交试验的特点入手，是否能够通过删除一些不太重要的性质，来达到减少试验次数的目的。
5 I$ ? M$ c& h \& D
我们以正交表为例，来解释正交设计的特点:
5 V! }$ i/ |- y- l% U( O) m9 Z; `
1) 任意一列中不同数字的重复数相同；
+ I) A. w/ u @; `4 S2) 任意两列中同行数字构成若干数对，每个数对的重复数也相等。
$ T8 x3 Z: R: J7 W" [' E; R' _8 e
这可以归纳为正交表具有“整齐可比”的性质，这个性质是为了便于试验数据分析。正交设计还有“均匀分散”的性质，这使得试验点有代表性。为了保证“整齐可比”的特点，正交设计就至少要求q2次试验，若要减少试验数目，只有去掉整齐可比的要求，只保留均匀分散的性质。均匀设计也就应运而生了！
8 n- C/ J& F0 n二、均匀设计表及其使用表的构造
' f# v3 \4 g7 q1 ]4 K
（一）均匀设计表的构造
' I; z: m- m, h$ b0 @ V根据均匀设计的思想，方开泰（1980），王元和方开泰（1981）为使用者提供了一套均匀设计表。每一个均匀设计表都由一张设计表和配套的一张使用表构成。均匀设计表有一个代号Un(qs)，其中“U”表示均匀设计，“n”表示试验次数，“q”表示每个因子的水平数，“s”代表该表的列数. 例如表1 U7(73) ，表示均匀设计，做7次试验，共有3个因子，每个因子有7个水平。
3 ]2 {) m* p( T3 r
表1 U7(73)
% j/ x& e* ~3 y6 r; f# v
均匀设计表的构造方法有很多种，这里仅介绍用好格子点法构造的均匀设计表。
$ L' A, B0 }2 C
1. 给定试验数n，寻找比n小的整数h，且使n和h的最大公约数为1。符合这些条件的整数组成一个向量h=(h1，…，hm).
) }0 ~/ Q* w$ E2 Z) w. |2. 均匀设计表的第i列由下法生成uij= jhi([modn]
( M% z8 Q, [1 {这里[modn]表示同余运算，若jhi 超过n，则用它减去一个适当倍数，使差落在[l，n]之中,uij 可以递推来生成
8 Y4 X. m7 p' B; q6 T1 X
4 q7 V& n' V, Z" ^8 m7 B
用上述步骤生成的均匀设计表记作Un(nm)，向量h称作该表的生成向量，有时为了强调h的作用，可将Un(nm)记成Un(h). 给定n，相应的h可以方便地求得，从而m也就确定。所以m是n的一个函数，这个函数曾由大数学家欧拉研究过，称为欧拉函数，记为E(n). 这个函数告诉我们均匀设计表可能有多少列。
& n% j- [% m0 T- u7 r5 v由上述好格子点法，很容易列举均匀设计表的一些特点:
& m! ?! i/ z+ x& @$ @3 @1 p g1 o* y1) 每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验；
9 V1 U1 b2 q5 I; B& K; S }
2) 任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每刊有且仅有一个试验点；
% p2 k, H- ?( l9 { h3 j性质1)和2)反映了试验安排的“均衡性一，即对每个目素的每个水平一视同仁；
& _# D8 K# s' x2 l3) 均匀设计表任两组成的试验方案一般并不等价；
9 L* I" @6 _7 S+ i, o! |& q1 ~4) 当因素的水平数增加时, 试验数按水平数的增加量在增加。
& ?, r5 q9 Z) ^. Z, M; O* V1 ?8 w
（二）使用表的构造
% A0 j# _& r; W# X* p. u
均匀设计在使用时由于选择的列不同，试验的效果也大不相同，于是建议读者按使用表的推荐去选列。那么使用表又是如何产生的呢?假设我们要从均匀设计表U(n)中选出s列，则可能的选择有 种。我们要从中选择一个最好的，这里必须对“好和坏” 有明确的含义。表Un(nm)是由它的生成向量h=(h1，…，hm)所唯一确定的，选择s列，本质上就是从h中选择s个hil，…，his由这s个数生成的均匀设计表为Un(hil，…，his)，它是一个n×s矩阵。它的每一行是s维空间Rs中的一个点，故n行对应Rs中n个点，若这n个点在试验范围内均匀，则试验效果好，否则试验效果不好。因此，比较两个均匀设计表Un(hil，…，his)和Un(hjl，…，hjs)的好坏等价于比较由它们所对应的两组点集的均匀性，于是我们必须要给出均匀性度量。
6 \- H: f; b, }% T5 o4 s- g
三、均匀性的度量
5 P1 \4 O% E5 v$ t# p8 d% S! E在试验区域上布n个试验点Pn =｛xk =(xk1，…，xks)，k =1，…，n｝，如何度量其均匀性呢？在数论方法（或伪蒙特卡罗方法）中，最普遍采用的Lp-偏差。令x =(x1，…，xs)’∈Cs，[0,x)=[0,x1)×…[0，xs)为Cs中由远点O到x决定的矩形。令N (Pn，[0，x))为Pn中的点在Cs中散布均匀时，N (Pn，[0，x))/n应与[0，x)的体积Vol([0，x))相接近，两者的差
% u4 a) b# G$ n8 |/ X6 ]3 ]
称为点集Pn在点x的偏差。所谓Lp-偏差定义为
当p→∞时，上式化为
& k# K8 Z e z8 b( c4 [
当P=2时，L2-偏差为
% l4 \4 L, B0 x1 b" m B3 x8 q
有关这两种偏差的优缺点及它们的改进，在这里就不再详述了。
% {! u- c2 r& f
四、均匀设计的应用
1 @; T @3 I/ L m/ b: f 均匀设计的步骤和正交设计很相似，但也有一些不同之处。通常有如下步骤：
, k( I3 l5 B0 S0 F2 R+ p; ]$ \- o
1)根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平；
N6 P: ]# ~+ J, H8 h 2)选择适台该项试验的均匀设计表，然后根据该表的使用表从中选出列号， 将因素分别安排到这些列号上，并将这些因素的水平按所在列的指示分别对号， 则试验就安排好了。
! A" }1 `# B1 \ }( |; j2 a5 i
选择香港浸会大学生物系的一项试验，来说明均匀设计的应用。
- U0 X; F, A. Q% `
为了研究环境污染对人体的危害，今考核六种金属的含量: 镉（Cd），铜（Cu），锌（Zn），镍（Ni），铬（Cr），铅（Pb），每种金属含量分别取17个水平（百万分之一,ppm）：0.01, 0.05, 0.1, 0.2, 0.4, 0.8, 1, 2, 4, 5, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20。今欲考虑这些金属含量（包括它们的交互作用）对老鼠寿命的影响，该试验考核老鼠身上某种细胞的死亡率。
8 |0 T: I/ V) C z5 f5 |6 j) X 综合考虑，选用均匀设计表U17(1716)，根据使用表的指示，选用了表中1, 4, 6, 10, 14, 15列来安排六个因素，其试验方案如表2所示。实验结果为死亡率，为了了解试验误差，提高结论的精度，他们在同一试验条件下将试验重复三次，三次结果(Y1，Y2，Y3)列于表3，三次死亡率的均值为Y，列于表3的最后一列。
! x% H4 s) S* c
表2 环保试验方案
表3 死亡率
4 S) h3 r4 P7 b
, X, K6 O, v4 K7 P 进一步利用回归来分析数据。由于数据的各因素水平变化较大，故通常要对水平值先作变换，如取对数后再进行回归。
2 Z* o3 O; E$ | 根据以往经验，知道六种金属间有交互作用，故应选用二次型回归模型，并利用逐步回归来筛选变量。最后得到的回归方程为：
5 r4 a) {& O3 }6 N9 i6 R' Z8 S3 FY=32.68+5.03 log Cd +3.48 log Cu +2.03 log Ni" J) y. j% x6 g
+0.55(log Cu)2 -0.63(log Zn)2 +0.94(log Ni)2
$ g9 M% w7 R, F) E5 {: D4 O5 b6 _+0.53(log Cd) log(Cu) -0.70(log Cd) log(Cr)
) W. K2 L2 p6 [1 J* ?3 [: R+0.92(log Cu)(log Pb)
, E R6 @. R- T1 h+ J 我们可以得出如下结论：
: K1 [' [* |' O3 Q% H) M8 c. U 1. Cd，Cu和Ni的含量过高，对老鼠细胞的死亡率有显著作用；
3 N7 {# w/ q+ V: h 2. 金属Cd和Cu，Cd和Cr，Cu和Pb有交互作用，其中Cd和Cu, Cu和Pb对死亡率起正交互作用，而Cd和Cr对死亡率起负交互作用；
( ^) D7 |" y: s/ h2 H0 M9 a
3. Zn可能会中和其它金属的破坏作用，降低老鼠细胞的死亡率。
" d) d% B8 }& q9 `; U1 u( G% l5 e ) b# X8 ]) e3 n( Z ]; l+ S
五、结论与建议
1 X9 w2 `1 {" I! a4 |9 k9 H 本文简要地介绍了均匀设计的相关知识，也仅仅是惊鸿一瞥。均匀设计的深入研究至今仍然十分有意义，包括均匀性的度量的修正等。
7 o$ d! P$ I- A+ q/ m9 t7 _4 M 均匀设计的应用日益广泛，成功的案例与日俱增，读者不难从各种文献库中发现这些案例。近年来，均匀设计走向国际，有关均匀设计和均匀性的文章在国际刊物上已发表了几十篇，包括国际上顶尖的一些杂志，如“Biometrika”, “Technometrics”， “Mathematics Computation”， SIAM的刊物等。
4 s: @; B$ I$ r 4 ~( ]: {% e+ K
参考文献
/ h5 w( s/ _0 m8 w
[1] 方开泰（1994），均匀设计及其应用，《数理统计与管理》第13卷，第1期：57～63；第2期： 59～61； 第3期： 52～56
/ b+ ?3 ^7 V( F ~4 r( T5 W0 x, T [2] 方开泰，马长兴（2001），正交与均匀试验设计，科学出版社
0 K) K% r' G/ B0 ?1 G
[3] 方开泰（2004），均匀试验设计的理论、方法和应用——历史回顾，江苏大学学报
6 W9 A5 ^( }) [ [4] 方开泰，王元（1996），数论方法在统计中的应用，科学出版社
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