一、均匀设计的提出
4 O( P& l- R! L# t! R9 H% R
实际中的试验设计要求:
5 U2 W8 }& G2 y. a& }' R
1) 在一个生产过程中，有关的因素通常是很多的；
: W! L. g' b% r# {% ^( |3 J- h
2) 在一项试验中，如何从众多的有关因子挑选出试验方案中的因素；
" `% @7 a1 z1 t% V) s1 x3 Y3) 试验的范围应当尽可能大一点；
5 s( e& R$ _! [% m9 r& ^4) 若试验范围允许大一些，则每一因素的水平个数最好适当多一些。
- c) j" T/ [4 {4 Z% P
每一种试验设计方法都有其局限性，正交试验也不例外。它只宜用于水平数不多的试验中，若在一项试验中有S个因素，每个因素有q个水平，用正交设计安排试验，即使是部分实施，最少也要q2个试验，当q较大时，q2将更大，使实验工作者望而生畏。
4 e! e; H7 m/ V2 A& o$ y; S
怎样减少试验的次数呢？ 让我们从正交试验的特点入手，是否能够通过删除一些不太重要的性质，来达到减少试验次数的目的。
8 b5 L: {. x4 X ]我们以正交表为例，来解释正交设计的特点:
" J1 i; [+ L& Q- y: t* n; b1) 任意一列中不同数字的重复数相同；
) f" F8 o( p/ Q, ]8 q9 N
2) 任意两列中同行数字构成若干数对，每个数对的重复数也相等。
! d7 d7 S: G! P; f5 e# }这可以归纳为正交表具有“整齐可比”的性质，这个性质是为了便于试验数据分析。正交设计还有“均匀分散”的性质，这使得试验点有代表性。为了保证“整齐可比”的特点，正交设计就至少要求q2次试验，若要减少试验数目，只有去掉整齐可比的要求，只保留均匀分散的性质。均匀设计也就应运而生了！
$ `+ l' o( R3 X$ V
二、均匀设计表及其使用表的构造
( s5 A$ E! `2 Q: W5 r/ A（一）均匀设计表的构造
7 t* w& D; E& M
根据均匀设计的思想，方开泰（1980），王元和方开泰（1981）为使用者提供了一套均匀设计表。每一个均匀设计表都由一张设计表和配套的一张使用表构成。均匀设计表有一个代号Un(qs)，其中“U”表示均匀设计，“n”表示试验次数，“q”表示每个因子的水平数，“s”代表该表的列数. 例如表1 U7(73) ，表示均匀设计，做7次试验，共有3个因子，每个因子有7个水平。
* x4 h; K N5 R- ?" C- g( k9 I/ S
表1 U7(73)
2 Z: T/ ^1 q" G$ I- K
均匀设计表的构造方法有很多种，这里仅介绍用好格子点法构造的均匀设计表。
. Z( _ i7 I# ^) U3 N1. 给定试验数n，寻找比n小的整数h，且使n和h的最大公约数为1。符合这些条件的整数组成一个向量h=(h1，…，hm).
1 k J; U+ d% ^. p
2. 均匀设计表的第i列由下法生成uij= jhi([modn]
* C! ]2 w$ ]; n1 P0 z; M这里[modn]表示同余运算，若jhi 超过n，则用它减去一个适当倍数，使差落在[l，n]之中,uij 可以递推来生成
T9 i+ P$ X1 i, `" v5 ~
0 V/ ~& N' w% H用上述步骤生成的均匀设计表记作Un(nm)，向量h称作该表的生成向量，有时为了强调h的作用，可将Un(nm)记成Un(h). 给定n，相应的h可以方便地求得，从而m也就确定。所以m是n的一个函数，这个函数曾由大数学家欧拉研究过，称为欧拉函数，记为E(n). 这个函数告诉我们均匀设计表可能有多少列。
/ e2 K* `3 @' P0 x% d
由上述好格子点法，很容易列举均匀设计表的一些特点:
6 Z) s) s6 d6 G4 x# @2 E, b1) 每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验；
* a7 }9 S: l h
2) 任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每刊有且仅有一个试验点；
* K9 Q' z! Q* A h1 n7 n8 ?1 E
性质1)和2)反映了试验安排的“均衡性一，即对每个目素的每个水平一视同仁；
- B% u: t5 q& {* R- i3) 均匀设计表任两组成的试验方案一般并不等价；
, }6 ~& m8 m% @- d5 D1 a5 K( H4) 当因素的水平数增加时, 试验数按水平数的增加量在增加。
3 Y% C. `1 q/ I& E N/ ~（二）使用表的构造
- E- b! q0 F1 u1 q3 `& ?
均匀设计在使用时由于选择的列不同，试验的效果也大不相同，于是建议读者按使用表的推荐去选列。那么使用表又是如何产生的呢?假设我们要从均匀设计表U(n)中选出s列，则可能的选择有 种。我们要从中选择一个最好的，这里必须对“好和坏” 有明确的含义。表Un(nm)是由它的生成向量h=(h1，…，hm)所唯一确定的，选择s列，本质上就是从h中选择s个hil，…，his由这s个数生成的均匀设计表为Un(hil，…，his)，它是一个n×s矩阵。它的每一行是s维空间Rs中的一个点，故n行对应Rs中n个点，若这n个点在试验范围内均匀，则试验效果好，否则试验效果不好。因此，比较两个均匀设计表Un(hil，…，his)和Un(hjl，…，hjs)的好坏等价于比较由它们所对应的两组点集的均匀性，于是我们必须要给出均匀性度量。
! P, y i2 Y" ] A9 m- y
三、均匀性的度量
6 u) ^2 [. s* f" D! \! R% I% Z0 g
在试验区域上布n个试验点Pn =｛xk =(xk1，…，xks)，k =1，…，n｝，如何度量其均匀性呢？在数论方法（或伪蒙特卡罗方法）中，最普遍采用的Lp-偏差。令x =(x1，…，xs)’∈Cs，[0,x)=[0,x1)×…[0，xs)为Cs中由远点O到x决定的矩形。令N (Pn，[0，x))为Pn中的点在Cs中散布均匀时，N (Pn，[0，x))/n应与[0，x)的体积Vol([0，x))相接近，两者的差
: G# y3 w$ j2 i h: m& d, j称为点集Pn在点x的偏差。所谓Lp-偏差定义为
当p→∞时，上式化为
# N g, [" L% Q; `) W当P=2时，L2-偏差为
9 {( V* x* g# [4 z+ k2 \' j% Q
有关这两种偏差的优缺点及它们的改进，在这里就不再详述了。
1 c- P, P/ \+ W6 R. Z
四、均匀设计的应用
4 X2 G0 N2 C( P" _) N 均匀设计的步骤和正交设计很相似，但也有一些不同之处。通常有如下步骤：
% X: E6 r2 T' O! ^8 _ 1)根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平；
( N( e+ }3 W- p" U. a6 E 2)选择适台该项试验的均匀设计表，然后根据该表的使用表从中选出列号， 将因素分别安排到这些列号上，并将这些因素的水平按所在列的指示分别对号， 则试验就安排好了。
1 |0 ~* J: \) Q* S* H( q! P: G
选择香港浸会大学生物系的一项试验，来说明均匀设计的应用。
9 T0 f4 S; R$ G 为了研究环境污染对人体的危害，今考核六种金属的含量: 镉（Cd），铜（Cu），锌（Zn），镍（Ni），铬（Cr），铅（Pb），每种金属含量分别取17个水平（百万分之一,ppm）：0.01, 0.05, 0.1, 0.2, 0.4, 0.8, 1, 2, 4, 5, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20。今欲考虑这些金属含量（包括它们的交互作用）对老鼠寿命的影响，该试验考核老鼠身上某种细胞的死亡率。
, F$ b; H" c* K& x8 ^ 综合考虑，选用均匀设计表U17(1716)，根据使用表的指示，选用了表中1, 4, 6, 10, 14, 15列来安排六个因素，其试验方案如表2所示。实验结果为死亡率，为了了解试验误差，提高结论的精度，他们在同一试验条件下将试验重复三次，三次结果(Y1，Y2，Y3)列于表3，三次死亡率的均值为Y，列于表3的最后一列。
; q. C; s9 ]$ w7 M& \* `
表2 环保试验方案
表3 死亡率
6 \0 ~7 c) c7 A! U$ o
+ K4 {% ^/ g5 B( d8 Y6 K& t8 [ 进一步利用回归来分析数据。由于数据的各因素水平变化较大，故通常要对水平值先作变换，如取对数后再进行回归。
) L& c- \3 ]& x! T# g 根据以往经验，知道六种金属间有交互作用，故应选用二次型回归模型，并利用逐步回归来筛选变量。最后得到的回归方程为：
' @. H- G( [5 H4 o0 E
Y=32.68+5.03 log Cd +3.48 log Cu +2.03 log Ni. k: v+ e; Z& W# [& n7 I
+0.55(log Cu)2 -0.63(log Zn)2 +0.94(log Ni)2
9 ~8 [* a w( g: H8 t6 ]/ P: H+0.53(log Cd) log(Cu) -0.70(log Cd) log(Cr)
: m# @# p: Y7 S" V, v- L+0.92(log Cu)(log Pb)
: Z7 y7 v6 o4 z. y, O: y 我们可以得出如下结论：
" [# v( h9 B" ]% v) \8 C, b! {
1. Cd，Cu和Ni的含量过高，对老鼠细胞的死亡率有显著作用；
7 `) f$ M% ~" m& ?; S
2. 金属Cd和Cu，Cd和Cr，Cu和Pb有交互作用，其中Cd和Cu, Cu和Pb对死亡率起正交互作用，而Cd和Cr对死亡率起负交互作用；
' s* [7 Z& t1 \+ [8 Z 3. Zn可能会中和其它金属的破坏作用，降低老鼠细胞的死亡率。
$ G$ q5 p9 Z+ h7 x! E- A& q " }1 {, V/ z/ A) ]6 |8 p
五、结论与建议
" Y" g6 m ~9 [0 F% n/ I: R ]+ B 本文简要地介绍了均匀设计的相关知识，也仅仅是惊鸿一瞥。均匀设计的深入研究至今仍然十分有意义，包括均匀性的度量的修正等。
I3 z( n& Q6 R7 |1 ^" c Y) F3 V 均匀设计的应用日益广泛，成功的案例与日俱增，读者不难从各种文献库中发现这些案例。近年来，均匀设计走向国际，有关均匀设计和均匀性的文章在国际刊物上已发表了几十篇，包括国际上顶尖的一些杂志，如“Biometrika”, “Technometrics”， “Mathematics Computation”， SIAM的刊物等。
6 L7 N l ^- g( C 7 o$ i* B; Q; h
参考文献
& [/ X0 H+ p) v; X6 F6 [
[1] 方开泰（1994），均匀设计及其应用，《数理统计与管理》第13卷，第1期：57～63；第2期： 59～61； 第3期： 52～56
( b5 j+ W- R1 f$ L2 D3 W( V# l
[2] 方开泰，马长兴（2001），正交与均匀试验设计，科学出版社
- j6 R; w) U& A
[3] 方开泰（2004），均匀试验设计的理论、方法和应用——历史回顾，江苏大学学报
& S- @8 P) }2 O0 n. P1 f" p- i [4] 方开泰，王元（1996），数论方法在统计中的应用，科学出版社
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