一、均匀设计的提出
+ E; A2 i) y# w7 z6 X
实际中的试验设计要求:
: j/ }& o4 S" L+ b- X- |0 J( G
1) 在一个生产过程中，有关的因素通常是很多的；
! I7 H( Y& n: ^5 V5 \, _2) 在一项试验中，如何从众多的有关因子挑选出试验方案中的因素；
: I, R( g/ K! A& C( M; {3 z
3) 试验的范围应当尽可能大一点；
2 ~ j7 Q D# ^4) 若试验范围允许大一些，则每一因素的水平个数最好适当多一些。
# M- I' d: d! X" n# P% k& j6 r
每一种试验设计方法都有其局限性，正交试验也不例外。它只宜用于水平数不多的试验中，若在一项试验中有S个因素，每个因素有q个水平，用正交设计安排试验，即使是部分实施，最少也要q2个试验，当q较大时，q2将更大，使实验工作者望而生畏。
9 _/ Y' o! W+ Y5 D) k
怎样减少试验的次数呢？ 让我们从正交试验的特点入手，是否能够通过删除一些不太重要的性质，来达到减少试验次数的目的。
6 A" S) w+ e/ Z7 r! m1 v# Y6 r
我们以正交表为例，来解释正交设计的特点:
. b: R) ^% N2 X' @& _, Y3 G
1) 任意一列中不同数字的重复数相同；
- Q6 F0 j! E" j( ^) b2) 任意两列中同行数字构成若干数对，每个数对的重复数也相等。
4 G% y. N2 P7 {. ^8 d1 N
这可以归纳为正交表具有“整齐可比”的性质，这个性质是为了便于试验数据分析。正交设计还有“均匀分散”的性质，这使得试验点有代表性。为了保证“整齐可比”的特点，正交设计就至少要求q2次试验，若要减少试验数目，只有去掉整齐可比的要求，只保留均匀分散的性质。均匀设计也就应运而生了！
/ J, w6 n* ^8 z1 U" Q, G& f3 M7 A" Q二、均匀设计表及其使用表的构造
q. B# I) ~+ N# T `8 O
（一）均匀设计表的构造
1 K# C1 W9 I! @2 H& x
根据均匀设计的思想，方开泰（1980），王元和方开泰（1981）为使用者提供了一套均匀设计表。每一个均匀设计表都由一张设计表和配套的一张使用表构成。均匀设计表有一个代号Un(qs)，其中“U”表示均匀设计，“n”表示试验次数，“q”表示每个因子的水平数，“s”代表该表的列数. 例如表1 U7(73) ，表示均匀设计，做7次试验，共有3个因子，每个因子有7个水平。
* o7 ^3 `+ G, @# t4 V表1 U7(73)
" J" f- ~( o) M \ e9 r3 D均匀设计表的构造方法有很多种，这里仅介绍用好格子点法构造的均匀设计表。
- Z' @: g; M% @: f
1. 给定试验数n，寻找比n小的整数h，且使n和h的最大公约数为1。符合这些条件的整数组成一个向量h=(h1，…，hm).
9 j/ F) T3 o% Q3 x# ~2. 均匀设计表的第i列由下法生成uij= jhi([modn]
1 H! H! L* w, h; o) z m
这里[modn]表示同余运算，若jhi 超过n，则用它减去一个适当倍数，使差落在[l，n]之中,uij 可以递推来生成2 J' Q% d% V5 t- e% Z2 |
3 U. U' j h/ g
用上述步骤生成的均匀设计表记作Un(nm)，向量h称作该表的生成向量，有时为了强调h的作用，可将Un(nm)记成Un(h). 给定n，相应的h可以方便地求得，从而m也就确定。所以m是n的一个函数，这个函数曾由大数学家欧拉研究过，称为欧拉函数，记为E(n). 这个函数告诉我们均匀设计表可能有多少列。
- s8 `" x0 [0 H. F& B由上述好格子点法，很容易列举均匀设计表的一些特点:
+ \4 S* p9 n1 c4 {2 q' k
1) 每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验；
; Z7 j2 {2 Z$ L/ E
2) 任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每刊有且仅有一个试验点；
L. d+ k3 m( ~2 `# h l性质1)和2)反映了试验安排的“均衡性一，即对每个目素的每个水平一视同仁；
6 C8 h& i- u: j' R6 M2 A3) 均匀设计表任两组成的试验方案一般并不等价；
2 e1 m1 t' r9 W" V# o. z4) 当因素的水平数增加时, 试验数按水平数的增加量在增加。
9 O6 z7 y3 `9 v" g3 G3 q2 I" u
（二）使用表的构造
" [) B- g2 u. S1 P! B1 g均匀设计在使用时由于选择的列不同，试验的效果也大不相同，于是建议读者按使用表的推荐去选列。那么使用表又是如何产生的呢?假设我们要从均匀设计表U(n)中选出s列，则可能的选择有 种。我们要从中选择一个最好的，这里必须对“好和坏” 有明确的含义。表Un(nm)是由它的生成向量h=(h1，…，hm)所唯一确定的，选择s列，本质上就是从h中选择s个hil，…，his由这s个数生成的均匀设计表为Un(hil，…，his)，它是一个n×s矩阵。它的每一行是s维空间Rs中的一个点，故n行对应Rs中n个点，若这n个点在试验范围内均匀，则试验效果好，否则试验效果不好。因此，比较两个均匀设计表Un(hil，…，his)和Un(hjl，…，hjs)的好坏等价于比较由它们所对应的两组点集的均匀性，于是我们必须要给出均匀性度量。
: v1 S, t3 ?& V/ M2 m
三、均匀性的度量
0 F! j1 F7 K9 A$ L
在试验区域上布n个试验点Pn =｛xk =(xk1，…，xks)，k =1，…，n｝，如何度量其均匀性呢？在数论方法（或伪蒙特卡罗方法）中，最普遍采用的Lp-偏差。令x =(x1，…，xs)’∈Cs，[0,x)=[0,x1)×…[0，xs)为Cs中由远点O到x决定的矩形。令N (Pn，[0，x))为Pn中的点在Cs中散布均匀时，N (Pn，[0，x))/n应与[0，x)的体积Vol([0，x))相接近，两者的差
, F, M# G5 C. a# v# K, Z/ O称为点集Pn在点x的偏差。所谓Lp-偏差定义为
当p→∞时，上式化为
4 \6 O3 K5 [% h1 F9 D当P=2时，L2-偏差为
: e, a+ ~% ?" E3 C) \. ~& q; i
有关这两种偏差的优缺点及它们的改进，在这里就不再详述了。
$ l X9 d2 M, N% ~" t ~ 四、均匀设计的应用
- r& ]2 J/ h# m' ~ 均匀设计的步骤和正交设计很相似，但也有一些不同之处。通常有如下步骤：
) |6 r9 S$ l6 ~% C' F) Q 1)根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平；
* m+ Y- h" R6 ~6 W6 ?0 ?: {
2)选择适台该项试验的均匀设计表，然后根据该表的使用表从中选出列号， 将因素分别安排到这些列号上，并将这些因素的水平按所在列的指示分别对号， 则试验就安排好了。
* P2 N$ s; w8 b. w6 P# A" ? 选择香港浸会大学生物系的一项试验，来说明均匀设计的应用。
$ _3 w9 ?/ I/ v/ p0 O
为了研究环境污染对人体的危害，今考核六种金属的含量: 镉（Cd），铜（Cu），锌（Zn），镍（Ni），铬（Cr），铅（Pb），每种金属含量分别取17个水平（百万分之一,ppm）：0.01, 0.05, 0.1, 0.2, 0.4, 0.8, 1, 2, 4, 5, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20。今欲考虑这些金属含量（包括它们的交互作用）对老鼠寿命的影响，该试验考核老鼠身上某种细胞的死亡率。
$ l! M% i" e+ n8 B
综合考虑，选用均匀设计表U17(1716)，根据使用表的指示，选用了表中1, 4, 6, 10, 14, 15列来安排六个因素，其试验方案如表2所示。实验结果为死亡率，为了了解试验误差，提高结论的精度，他们在同一试验条件下将试验重复三次，三次结果(Y1，Y2，Y3)列于表3，三次死亡率的均值为Y，列于表3的最后一列。
2 @) a) H& e' n, N9 h
表2 环保试验方案
表3 死亡率
2 l8 a- o9 H* {5 T2 \( o) g- u3 r! E8 P6 K: C
进一步利用回归来分析数据。由于数据的各因素水平变化较大，故通常要对水平值先作变换，如取对数后再进行回归。
9 [1 k$ u' i/ P% C7 o 根据以往经验，知道六种金属间有交互作用，故应选用二次型回归模型，并利用逐步回归来筛选变量。最后得到的回归方程为：
# \+ r0 M6 d' gY=32.68+5.03 log Cd +3.48 log Cu +2.03 log Ni
' V4 o: }! x5 Y" z& F" @' E7 G0 K* s+0.55(log Cu)2 -0.63(log Zn)2 +0.94(log Ni)2
! M1 M" ]5 l3 ?, U# e/ W* p7 \6 u' t+0.53(log Cd) log(Cu) -0.70(log Cd) log(Cr)0 X2 ~9 z( t& R" F
+0.92(log Cu)(log Pb)
* H6 j/ ? U' T; F' o; k# A: }" ^
我们可以得出如下结论：
1 ~) y) W/ ]0 R* i 1. Cd，Cu和Ni的含量过高，对老鼠细胞的死亡率有显著作用；
- T$ s. X! J! | 2. 金属Cd和Cu，Cd和Cr，Cu和Pb有交互作用，其中Cd和Cu, Cu和Pb对死亡率起正交互作用，而Cd和Cr对死亡率起负交互作用；
$ U- r1 c4 x5 Q
3. Zn可能会中和其它金属的破坏作用，降低老鼠细胞的死亡率。
$ N3 m+ D I" |! F& d/ g
7 [( ^" X v4 p( u% E
五、结论与建议
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本文简要地介绍了均匀设计的相关知识，也仅仅是惊鸿一瞥。均匀设计的深入研究至今仍然十分有意义，包括均匀性的度量的修正等。
# J, Y; r3 L7 F7 Z9 r5 h* h/ u; X 均匀设计的应用日益广泛，成功的案例与日俱增，读者不难从各种文献库中发现这些案例。近年来，均匀设计走向国际，有关均匀设计和均匀性的文章在国际刊物上已发表了几十篇，包括国际上顶尖的一些杂志，如“Biometrika”, “Technometrics”， “Mathematics Computation”， SIAM的刊物等。8 T' z$ Z% B% ?9 K) U- S
; ~6 a- ]/ R1 M2 Y. @, ?* } 参考文献
) R* X8 i6 d4 A# t0 k/ P. Z) ` |
[1] 方开泰（1994），均匀设计及其应用，《数理统计与管理》第13卷，第1期：57～63；第2期： 59～61； 第3期： 52～56
4 f. O, P* B! u7 z) y) v
[2] 方开泰，马长兴（2001），正交与均匀试验设计，科学出版社
5 M5 R; A: S& E! A, H# O [3] 方开泰（2004），均匀试验设计的理论、方法和应用——历史回顾，江苏大学学报
- w( A2 N) _7 U) s( U5 \+ ^: Y [4] 方开泰，王元（1996），数论方法在统计中的应用，科学出版社
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